基爾霍夫電路定律

　　基爾霍夫電路定律（Kirchhoff Circuit Laws）簡稱為基爾霍夫定律，指的是兩條電路學定律，基爾霍夫電流定律與基爾霍夫電壓定律。它們涉及了電荷的守恒及電勢的保守性。1845年，古斯塔夫·基爾霍夫首先提出基爾霍夫電路定律。現在，這定律被廣泛地應用于電氣工程學。

　　從麥克斯韋方程組可以推導出基爾霍夫電路定律。但是，基爾霍夫并不是依循這條思路發展，而是從格奧爾格·歐姆的工作成果加以推廣得之。

基爾霍夫電流定律

　　基爾霍夫電流定律又稱為基爾霍夫第一定律，表明：

　　所有進入某節點的電流的總和等于所有離開這節點的電流的總和。

　　或者，更詳細描述，

　　假設進入某節點的電流為正值，離開這節點的電流為負值，則所有涉及這節點的電流的代數和等于零。

　　以方程表達，對于電路的任意節點，

　　{\displaystyle\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0}\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0；

　　其中，{\displaystyle i_{k}}i_{k}是第{\displaystyle k}k個進入或離開這節點的電流，是流過與這節點相連接的第{\displaystyle k}k個支路的電流，可以是實數或復數。

　　由于累積的電荷（單位為庫侖）是電流（單位為安培）與時間（單位為秒）的乘積，從電荷守恒定律可以推導出這條定律。其實質是穩恒電流的連續性方程，即根據電荷守恒定律，流向節點的電流之和等于流出節點的電流之和。

導引

　　思考電路的某節點，跟這節點相連接有{\displaystyle n}n個支路。假設進入這節點的電流為正值，離開這節點的電流為負值，則經過這節點的總電流{\displaystyle i}i等于流過支路{\displaystyle k}k的電流{\displaystyle i_{k}}i_{k}的代數和：

　　{\displaystyle i=\sum _{k=1}^{n}i_{k}}i=\sum _{k=1}^{n}i_{k}。

　　將這方程積分于時間，可以得到累積于這節點的電荷的方程：

　　{\displaystyle q=\sum _{k=1}^{n}q_{k}}q=\sum _{k=1}^{n}q_{k}；

　　其中，{\displaystyle q=\int _{0}^{t}i(t')\mathrmaugkumoioqt'}q=\int _{0}^{t}i(t')\mathrmaugkumoioqt'是累積于這節點的總電荷，{\displaystyle q_{k}=\int _{0}^{t}i_{k}(t')\mathrmaugkumoioqt'}q_{k}=\int _{0}^{t}i_{k}(t')\mathrmaugkumoioqt'是流過支路{\displaystyle k}k的電荷，{\displaystyle t}t是檢驗時間，{\displaystyle t'}t'是積分時間變數。

　　假設{\displaystyle q>0}q>0，則正電荷會累積于節點；否則，負電荷會累積于節點。根據電荷守恒定律，{\displaystyle q}q是個常數，不能夠隨著時間演進而改變。由于這節點是個導體，不能儲存任何電荷。所以，{\displaystyle q=0}q=0、{\displaystyle i=0}i=0，基爾霍夫電流定律成立：

　　{\displaystyle\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0}\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0。

含時電荷密度

　　從上述推導可以看到，只有當電荷量為常數時，基爾霍夫電流定律才會成立。通常，這不是個問題，因為靜電力相斥作用，會阻止任何正電荷或負電荷隨時間演進而累積于節點，大多時候，節點的凈電荷是零。

　　不過，電容器的兩塊導板可能會允許正電荷或負電荷的累積。這是因為電容器的兩塊導板之間的空隙，會阻止分別累積于兩塊導板的異性電荷相遇，從而互相抵消。對于這狀況，流向其中任何一塊導板的電流總和等于電荷累積的速率，而不是零。但是，若將位移電流{\displaystyle\mathbf{J}_{D}}\mathbf{J}_{D}納入考慮，則基爾霍夫電流定律依然有效。詳盡細節，請參閱條目位移電流。只有當應用基爾霍夫電流定律于電容器內部的導板時，才需要這樣思考。若應用于電路分析（circuit analysis）時，電容器可以視為一個整體器件，凈電荷是零，所以原先的電流定律仍適用。

　　由更技術性的層面來說，取散度于麥克斯韋修正的安培定律，然后與高斯定律相結合，即可得到基爾霍夫電流定律

　　{\displaystyle\nabla\cdot\mathbf{J}=-\epsilon _{0}\nabla\cdot{\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}}=-{\frac{\partial\rho}{\partial t}}}\nabla\cdot\mathbf{J}=-\epsilon _{0}\nabla\cdot{\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}}=-{\frac{\partial\rho}{\partial t}}；

　　其中，{\displaystyle\mathbf{J}}\mathbf{J}是電流密度，{\displaystyle\epsilon _{0}}\epsilon _{0}是電常數，{\displaystyle\mathbf{E}}\mathbf{E}是電場，{\displaystyle\rho}\rho是電荷密度。

　　這是電荷守恒的微分方程。以積分的形式表述，從封閉表面流出的電流等于在這封閉表面內部的電荷{\displaystyle Q}Q的流失率：

　　{\displaystyle\oint _{\mathbb{S}}\mathbf{J}\cdot\mathrmaugkumoioq\mathbf{a}=-{\frac{\mathrmaugkumoioqQ}{\mathrmaugkumoioqt}}}\oint _{\mathbb{S}}\mathbf{J}\cdot\mathrmaugkumoioq\mathbf{a}=-{\frac{\mathrmaugkumoioqQ}{\mathrmaugkumoioqt}}。

　　基爾霍夫電流定律等價于電流的散度是零的論述。對于不含時電荷密度{\displaystyle\rho}\rho，這定律成立。對于含時電荷密度，則必需將位移電流納入考慮。

應用

　　以矩陣表達的基爾霍夫電流定律是眾多電路模擬軟件（electronic circuit simulation）的理論基礎，例如，SPICE或NI Multisim。

基爾霍夫電壓定律

　基爾霍夫電壓定律又稱為基爾霍夫第二定律，表明：

　　沿著閉合回路所有器件兩端的電勢差（電壓）的代數和等于零。

　　或者，換句話說，

　　沿著閉合回路的所有電動勢的代數和等于所有電壓降的代數和。

　　以方程表達，對于電路的任意閉合回路，

　　{\displaystyle\sum _{k=1}^{m}v_{k}=0}\sum _{k=1}^{m}v_{k}=0；

　　其中，{\displaystyle m}m是這閉合回路的器件數目，{\displaystyle v_{k}}v_{k}是器件兩端的電壓，可以是實數或復數。

　　基爾霍夫電壓定律不僅應用于閉合回路，也可以把它推廣應用于回路的部分電路。[需要解釋]

電場與電勢

　　在靜電學里，電勢定義為電場的負線積分：

　　{\displaystyle\phi(\mathbf{r}){\stackrel{def}{=}}-\int _{\mathbb{L}}\mathbf{E}\cdot\mathrmaugkumoioq{\boldsymbol{\ell}}\,\!}\phi(\mathbf{r}){\stackrel{def}{=}}-\int _{\mathbb{L}}\mathbf{E}\cdot\mathrmaugkumoioq{\boldsymbol{\ell}}\,\!；

　　其中，{\displaystyle\phi(\mathbf{r})}\phi(\mathbf{r})是電勢，{\displaystyle\mathbf{E}}\mathbf{E}是電場，{\displaystyle\mathbb{L}}\mathbb{L}是從參考位置到位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}的路徑，{\displaystyle\mathrmaugkumoioq{\boldsymbol{\ell}}}\mathrmaugkumoioq{\boldsymbol{\ell}}是這路徑的微小線元素。

　　那么，基爾霍夫電壓定律可以等價表達為：

　　{\displaystyle\oint _{\mathbb{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0}\oint _{\mathbb{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0；

　　其中，{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}是積分的閉合回路。

　　這方程乃是法拉第電磁感應定律對于一個特殊狀況的簡化版本。假設通過閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的磁通量為常數，則這方程成立。

　　這方程指明，電場沿著閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的線積分為零。將這線積分切割為幾段支路，就可以分別計算每一段支路的電壓。

理論限制

　　由于含時電流會產生含時磁場，通過閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的磁通量是時間的函數，根據法拉第電磁感應定律，會有電動勢{\displaystyle{\mathcal{E}}}{\mathcal{E}}出現于閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}。所以，電場沿著閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的線積分不等于零。這是因為電流會將能量傳遞給磁場；反之亦然，磁場亦會將能量傳遞給電流。

　　對于含有電感器的電路，必需將基爾霍夫電壓定律加以修正。由于含時電流的作用，電路的每一個電感器都會產生對應的電動勢{\displaystyle{\mathcal{E}}_{k}}{\mathcal{E}}_{k}。必需將這電動勢納入基爾霍夫電壓定律，才能求得正確答案。

頻域

　　思考單頻率交流電路的任意節點，應用基爾霍夫電流定律

　　{\displaystyle\sum _{k=1}^{n}i_{k}=\sum _{k=1}^{n}I_{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm{Re}{\Big\{}\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j(\omega t+\theta _{k})}{\Big\}}=\mathrm{Re}{\Big\{}\left(\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j\theta _{k}}\right)e^{j\omega t}{\Big\}}=0}\sum _{k=1}^{n}i_{k}=\sum _{k=1}^{n}I_{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm{Re}{\Big\{}\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j(\omega t+\theta _{k})}{\Big\}}=\mathrm{Re}{\Big\{}\left(\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j\theta _{k}}\right)e^{j\omega t}{\Big\}}=0；

　　其中，{\displaystyle i_{k}}i_{k}是第{\displaystyle k}k個進入或離開這節點的電流，{\displaystyle I_{k}}I_{k}是其振幅，{\displaystyle\theta _{k}}\theta _{k}是其相位，{\displaystyle\omega}\omega是角頻率，{\displaystyle t}t是時間。

　　對于任意時間，這方程成立。所以，設定相量{\displaystyle\mathbb{I}_{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}}}\mathbb{I}_{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}}，則可以得到頻域的基爾霍夫電流定律，以方程表達，

　　{\displaystyle\sum _{k=1}^{n}\mathbb{I}_{k}=0}\sum _{k=1}^{n}\mathbb{I}_{k}=0。

　　頻域的基爾霍夫電流定律表明：

　　所有進入或離開節點的電流相量的代數和等于零。

　　這是節點分析的基礎定律。

　　類似地，對于交流電路的任意閉合回路，頻域的基爾霍夫電壓定律表明：

　　沿著閉合回路所有器件兩端的電壓相量的代數和等于零。

　　以方程表達，

　　{\displaystyle\sum _{k=1}^{m}\mathbb{V}_{k}=0}\sum _{k=1}^{m}\mathbb{V}_{k}=0；

　　其中，{\displaystyle\mathbb{V}_{k}}\mathbb{V}_{k}是閉合回路的器件兩端的電壓相量。

　　這是網目分析（mesh analysis）的基礎定律。

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